Всего: 10 1–10
Добавить в вариант
трехзначных — 
и т. д. Так как к однозначной цифре мы приписывали слева 2016 нулей, к двузначной — 2015, и т. д., то общее число лишних нулей, не считая первого числа, которое у нас записывалось как 
будет равно 
При этому мы получили все целые числа в промежутке от 1 до 102017. Мы видим, что для их записи потребовалось 
двоек, троек и т. д. до девяток, 
единица и число нулей, равное 
и избавившись от знаменателя, получаем: 
для которых выполнено (1), а, следовательно, (2), то есть 
то 
Подставляя (3) в (2), получим 
где 
Принимая во внимание, что 
получаем два решения: 
при некотором натуральном a состоять только из девяток?
Заметим, что оба множителя не могут одновременно делиться на 5, так как 
делится на 5 при 
a 
делится на 5 при 
Значит, один из множителей 
так как в этом случае
В таком случае 
Остаётся заметить, что 
Максим и Даша играют в игру. Изначально на доске написано в ряд 9 звёздочек. Каждый своим ходом, начиная с Даши, заменяет любую звёздочку на ненулевую цифру, причём использовать уже написанную цифру запрещено. После того, как все цифры будут использованы, к полученному числу приписывается это же число, записанное в обратном порядке, а затем получившееся 18-значное число делят на 11. Если в результате проделанных действий получилось число-палиндром (то есть число, читающееся слева направо и справа налево одинаково), то выиграла Даша, иначе — Максим. Может ли кто-то из игроков гарантировать себе победу независимо от игры соперника?
то после деления на 11 получится 
что можно записать «в столбик». 
(при этом полагаем 
и 
тогда в столбце с номером 
также есть переход разряда, поскольку там стоят цифры 
и 
равные по обозначению 
и 
Поскольку изначально взятый нами столбец был правее всех других столбцов с переходом разряда, то 
Также 
так как в последнем разряда перехода быть не может. Тогда сумма цифр в столбце 
равна 
равна 
поскольку в неё нет перехода единицы из следующего разряда. Обе эти суммы должны оканчиваться на цифру aj (при этом полагаем 
значит, их разность оканчивается на ноль, чего быть не может, так как их разность равна единице. Из доказанного утверждения следует, что все суммы в столбцах являются цифрами, а значит 
нарушилось. Поставив одну из указанных цифр, Максим ставит вторую цифру так, чтобы добиться ситуации 
В итоге, опираясь на введённые выше обозначения, получим 
Поскольку 
Значит, Даша своим вторым ходом обязана ставить цифру восемь на третье место, чтобы не проиграть. После этого Максим своим вторым ходом добивается ситуации 
В итоге 
где a1, 
где a1, 
то 
снизу. Имеем: 
Поэтому 
поэтому 
равное сочетаний из 400 по 100: 
то число перестановок из 100 больше числа сочетаний из 400 по 100.
сверху. Имеем: 
Поэтому 
На бумажной ленте написано некоторое число, не содержащее нулей. Миша может разрезать ленту между любыми двумя цифрами и получить два новых числа. Оказалось, что как бы Миша ни разрезал ленту, сумма полученных чисел всегда будет равна некоторой натуральной степени семёрки. Из какого наибольшего количества цифр может состоять число, записанное на ленте?
Любое число при делении на 9 даёт такой же остаток, как и его сумма цифр. Это означает, что как бы Миша ни разрезал ленту, сумма двух полученных чисел будет иметь такой же остаток при делении на 9, как и число 
то есть остаток всегда один и тот же для конкретного числа а. Докажем вспомогательную лемму. 
Тогда 
Но при 
это неверно, значит, 
а значит 
что и требовалось доказать. 
Рассмотрим сумму чисел при двух разрезах: 
и 
то 
Очевидно, что 
является двузначной степенью семёрки, то есть 
Но число 
состоит из трёх или четырёх цифр и отличается от предыдущего хотя бы в 343 раза, то есть оно не меньше, чем 
—
Разобьём цифры на пары по разрядам: 1 и 9, 2 и 8, 3 и 7, 4 и 6. В любом почти палиндроме в трёх указанных парах разрядов цифры должны совпадать, и ровно в одной паре быть разными.
)